Міністерство освіти і науки України
Національний університет „ Львівська Політехніка ”
ІКТА
Кафедра БІТ
З В І Т
До лабораторної роботи №4
з курсу:
„ Комп’ютерні методи дослідження інформаційних процесів та систем ”
на тему:
„ Чисельне інтегрування функцій однієї змінної ”
Варіант 18
Львів – 2011
Мета роботи – ознайомлення з методами наближеного інтегрування означених інтегралів.
Чисельне інтегрування функцій однієї змінної
Нехай дана деяка функція на деякому відрізку . Розглянемо задачу обчислення її означеного інтеграла
.
Якщо для відома первісна , то інтеграл обчислюється за формулою Ньютона - Лейбніца
(1)
Однак для великого класу функцій не можна виразити через елементарні функції, тому означений інтеграл вже не можна обчислити за допомогою формули Ньютона - Лейбніца. Крім того, бувають випадки, коли підінтегральна функція задається не аналітично, а таблично. Тоді використовують формули наближеного інтегрування, які називають квадратурними. Сам процес чисельного визначення інтегралу називають квадратурою, а відповідні формули - квадратурними.
Ідея чисельних методів інтегрування полягає в наступному. Означений інтеграл
Рис. 1
можна трактувати як площу фігури (рис.1), обмеженої ординатами a і b , віссю абсцис і графіком підінтегральної функції (криволінійною трапецією).
При наближеному обчисленні криволінійну трапецію заміняють фігурою, обмеженою тим самим відрізком , площа якої обчислюється значно простіше.
Найбільш прості формули чисельного інтегрування - формули прямокутників та трапецій.
Рис. 2
Розглянемо метод прямокутників.
Відрізок розбивають на відрізків , де i= . На кожному з відрізків площа криволінійної трапеції заміняється площею прямокутника з основою та висотою .
Тоді (2)
Якщо відрізки рівновеликі :
(3)
Формулу (3) називають також формулою «середніх» прямокутників. Якщо за висоту прямокутника взяти або , то можна одержати формули «лівих» та, відповідно, «правих» прямокутників.
Формула лівих прямокутників :
.
Формула правих прямокутників :
.
Завдання
Скласти програму обчислення означеного інтеграла вказаним викладачем методом.Методи прямокутників, трапецій і Сімпсона зі змінним кроком інтегрування,
Гаусса і Чебишова – з сталим.
№ вар.
Підінтегральна функція
Інтервал інтегрування
Метод
Абсолютна похибка
18
[0; 2]
Сімпсона
0,001
Блок-схема алгоритму програми
Схема до методу Сімпсона
Текст програми
#include <math.h>
#include <iostream>
#include <conio.h>
using namespace std;
double func(double x)
{
double r;
r = sin(pow(x,2));
return r;
}
double simpson( double (*Fx)(double), double a, double b, int h);
int main(int argc, char* argv[])
{
double I;
double a,b;
int h;
cout << " Enter a = ";
cin >> a;
cout << " Enter b = ";
cin >> b;
cout << " Enter h = ";
cin >> h;
I = simpson( &func, a, b, h );
cout << endl << " I = " << I;
getch();
}
double simpson( double (*Fx)(double), double a, double b, int h)
{
double I,I2 = 0, I4 = 0;
I4 = Fx(a+h);
for(int k = 2; k <=b ; k += 2 )
{
I4 += Fx(a+(k+1)*h);
I2 += Fx(a+k*h);
}
I = Fx(a)+Fx(b)+4*I4+2*I2;
I *= h/3;
getch(I);
}
Виконання програми
Висновок
В даній лабораторної роботи я ознайомився з методом чисельного
інтегрування функцій однієї змінної. В роботі я склав програму для знаходження інтеграла з граничною абсолютною похибкою Е = 0,001, відокремлений на відрізку [a, b] методом Сімпсона.
